Question

1．为判断命题“有三条边相等且一组对角相等的四边形是菱形”的真假，数学课上，老师给出菱形ABCD如图1，并作出了一个四边形ABC′D．具体作图过程如下：
如图2，在菱形ABCD中，
①连接BD，以点B为圆心，以BD的长为半径作圆弧，交CD于点P；
②分别以B、D为圆心，以BC、PC的长为半径作圆弧，两弧交于点C′．
③连接BC′、DC′，得四边形ABC′D．
依据上述作图过程，解决以下问题：
（1）求证：∠A=∠C′；AD=BC′．
（2）根据作图过程和（1）中的结论，说明命题“有三条边相等且有一组对顶角相等的四边形是菱形”是真命题．（填写“真”或“假”）

Answer 1

分析 （1）连接BP，由菱形的性质得出AD=BC，∠A=∠BCD，根据题意得出BC=B′C，BD=BP，DC′=PC，得出AD=BC′，由SSS证明△BPC≌△BDC′，得出对应角相等∠BCD=∠C′，即可得出∠A=∠C′；
（2）由（1）可知命题“有三条边相等且有一组对顶角相等的四边形是菱形”是假命题．

解答 证明：连接BP，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，∠A=∠BCD，
根据题意得：BC=B′C，BD=BP，DC′=PC，
∴AD=BC′，
在△BPC和△BDC′中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BC′}\\{BP=BD}\\{PC=DC′}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△BDC′（SSS），
∴∠BCD=∠C′，
∴∠A=∠C′；
（2）由（1）可知四边形ABC′D中，AB=AD=BC′，∠A=∠C，但四边形ABC′D不存在，易证A、D、C′共线，
所以有三条边相等且有一组对顶角相等的四边形是菱形”是真命题，
故答案为：真．

点评 本题考查了作图-复杂作图中的有关知识以及菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．