Question

12．在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为线段AB上一点，连接CD．
（1）如图1，若D为线段AB中点，过点C、点B分别作CD、AB的垂线相交于点E，连接AE，若AC=4，求AE的长．
（2）如图2，过点C、点B分别作CD、AB的垂线相交于点E，连接AE，取AE的中点为F，连接CF，求证：4CF²+BE²=2CD²．
（3）如图3，过点B作BH⊥CD于点H，取AB的中点为M，连接HM，若CH：HB=1：5，请直接写出$\frac{CB}{HM}$的值．

Answer 1

分析 （1）首先证明四边形CDBE是正方形，求出BE、AB，在Rt△ABE中，利用勾股定理即可解决问题．
（2）如图2中，延长AC、BE交于点M，连接DE，由△ACD≌△BCE，推出CD=CE，AD=BE，再证明BD=ME=2CF，在Rt△DBE中，根据BE²+BD²=BE²+EM²=BE²+（2CF）²=ED²，即可证明．
（3）如图3中，连接CM，过A作AN⊥CD于N，连接MN，首先证明△ACN≌△BCH，△CHM≌△ANM，推出MN=MH，∠HMN=∠HMA+∠NMA=∠HMA+∠HMC=∠CMA=90°，推出△HMN是等腰直角三角形，由CH：HB=1：5，设CH=x，HB=5x，则CB=$\sqrt{26}$x，推出CN=BH=5x，NH=CN-CH=4x，MH=2$\sqrt{2}$x，由此即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵AD=DB，
∴AD=DB=CD=2$\sqrt{2}$，CD⊥AB，
∵CD⊥CE，BD⊥BE，
∴∠DCE=∠EBD=∠CDB=90°，
∴四边形CDBE是矩形，
∵CD=BD，
∴四边形CDBE是正方形，
∴BE=CD=2$\sqrt{2}$，∠EBD=90°，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

（2）如图2中，延长AC、BE交于点M，连接DE，

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BCA=∠BCM=90°，∠CAB=∠CBA=45°，AC=BC．
∵CD⊥CE，BD⊥BE，
∴∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CBE=45°
∴∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠CBE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACD=∠BCE}\\{AC=BC}\\{∠CAD=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴CD=CE，AD=BE，
∵∠CBE=∠CMB=45°，
∴BC=CA=CM，
∵BC⊥AM，
∴BA=BM，
∵AC=CM，AF=FE，
∴ME=2CF，
∴AB-AD=BM-BE，
∴BD=ME=2CF，
在Rt△DBE中，BE²+BD²=BE²+EM²=BE²+（2CF）²=ED²，
即BE²+4CF²=（$\sqrt{2}$CD）²=2CD²．

（3）如图3中，连接CM，过A作AN⊥CD于N，连接MN，

∵BH⊥CD，AN⊥CD，
∴∠ANC=∠BHC=90°，
∵∠2+∠BCH=90°，∠2+∠CAN=90°，
∴∠BCH=CAN，
在△ACN和△BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ANC=∠BHC}\\{∠CAN=∠BCH}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BCH，
∴AN=CH，CN=BH，
∵MA=MB，∠ACB=90°，
∴CM=AM，∠CMA=90°，
∵∠AND=∠CMD=90°，∠ADN=∠CDM，
∴∠1=∠3，
∴△CHM≌△ANM，
∴MN=MH，∠HMN=∠HMA+∠NMA=∠HMA+∠HMC=∠CMA=90°，
∴△HMN是等腰直角三角形，
∵CH：HB=1：5，设CH=x，HB=5x，则CB=$\sqrt{26}$x，
∴CN=BH=5x，NH=CN-CH=4x，MH=2$\sqrt{2}$x，
∴$\frac{CB}{HM}$=$\frac{\sqrt{26}x}{2\sqrt{2}x}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．