Question

如图二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得线段AB长为6. （1）利用二次函数的对称性直接写出点A、B的坐标为：A（，）；B（，）；
（2）求二次函数的解析式；
（3）该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
（4）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1） ∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6， ∴ A（ 1，0 ）、B（ 7，0 ） （2）设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k， ∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，） ∴y=a(x-4)2+k     ， …………① 又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6， ∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k ………②， 由①②解得a=，k=， ∴二次函数的解析式为：或 （3）利用待定系数法求一次函数解析式， 即直线DB为y=-+ （4）由（1）知点C(4，)， 又∵AM=3， ∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，∴∠ACM=60o， ∵AC=BC，∴∠ACB=120o ①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ， 由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o， ∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)， 如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，) ②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，)， 经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上， 综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为 (10，)或(-2，)或(4，)．