Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．

（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；

（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．

Answer 1

（1）见解析（2）7

【解析】

试题分析：（1）此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；

（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF了．

（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，

∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，

∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，

∴∠CAF=∠EBA，

在△ABE和△AFC中，

∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，

∴△BEA≌△AFC．

∴EA=FC，BE=AF．

∴EF=EB+CF．

（2）【解析】
∵BE⊥EA，CF⊥AF，

∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，

∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，

∴∠CAF=∠ABE，

在△ABE和△AFC中，

∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，

∴△BEA≌△AFC．

∴EA=FC=3，BE=AF=10．

∴EF=AF﹣CF=10﹣3=7．