Question

13．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求出△BCP的周长．
（3）在直线BC上方的抛物线上是否存在点Q（不与P重合），使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）、B（3，0）代入抛物线解析式中列方程组，解出即可；
（2）根据勾股定理分别计算BC、PC、PB的长，相加即可；
（3）如图，根据同底等高的两个三角形面积相等，过P作PQ∥BC，交抛物线于Q，此时S_△PBM=S_△QMB，即求出直线PQ与抛物线的交点即为所求的Q，列方程组求解即可．

解答 解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）代入抛物线y=-x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴该抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；
（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴P（1，4），
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
由勾股定理得：BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
PC=$\sqrt{{1}^{2}+（4-3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
PB=$\sqrt{（3-1）^{2}+（4-0）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴△BCP的周长=BC+PC+PB=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$+2$\sqrt{5}$=4$\sqrt{2}$+2$\sqrt{5}$；
（3）存在，
如图，过P作PQ∥BC，交抛物线于Q，连接QM、BM，
∴S_△PBM=S_△QMB，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵PQ∥BC，
∴设直线PQ的解析式为：y=-x+c，
把P（1，4）代入得：-1+c=4，
c=5，
∴直线PQ的解析式为：y=-x+5，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
-x+5=-x²+2x+3，
解得：x₁=2，x₂=1（舍），
当x=2时，y=-2+5=3，
∴Q（2，3）．

点评 本题考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，明确两直线平行时，一次项系数k相等；根据点的坐标利用勾股定理或两点的距离公式可以求线段的长，另外本题中条件给出的面积相等，在寻找符合条件的点时，利用平行线的距离相等得出相应的结论．