Question

17．如图所示，△ABC是直角三角形，∠C=90°，过AC的中点M作BC的平行线l，点C关于AB的对称点P恰好在l上，求证：AB=2BC．

Answer 1

分析 连接PC交AB于O，连接CD，根据轴对称的性质得出OC=OP，CD=PD，根据平行线的性质求得∠B=∠CDO，进而根据AAS证得△COB≌△POD，得出BC=PD，从而求得CD=BC，根据直角三角形斜边中线的性质求得2CD=AB，从而证得结论．

解答 解：连接PC交AB于O，连接CD，
∵点C关于AB的对称点P恰好在l上，
∴OC=OP，CD=PD，
∵BC∥直线l，
∴∠B=∠CDO，
在△COB和△POD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CDO}\\{∠COB=∠POD}\\{OC=OP}\end{array}\right.$
∴△COB≌△POD（AAS），
∴BC=PD，
∴CD=BC，
∵过AC的中点M作BC的平行线l，
∴D是AB的中点，
在RT△ABC中，2CD=AB，
∴AB=2BC．

点评 本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质以及轴对称的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．