Question

如图，已知△ABC，AC=BC=4，O是AB的中点，⊙O分别与AC、BC相切于点M、N，与AB交于E、F，连ME并延长交BD的延长线于D，∠1=∠2．
（1）求证：∠C=90°；
（2）设图中阴影部分的面积分别为S₁、S₂，求

S1

S2

的值．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）首先连接OM，ON，由⊙O分别与AC、BC相切于点M、N，∠1=∠2，易得OM∥BC，则可得：∠C=90°；
（2）易证得四边形OMCN是正方形，继而求得S₁，S₂的值．

解答：（1）证明：连接OM，ON，
∵⊙O分别与AC、BC相切于点M、N，
∴OM⊥AC，ON⊥BC，
∵OE=OM，
∴∠OME=∠OEM，
∵∠1=∠2，∠2=∠OEM，
∴∠OME=∠1，
∴OM∥BC，
∴BC⊥AC，
∴∠C=90°；

（2）解：∵O是AB的中点，
∵OM⊥AC，ON⊥BC，
∴∠ONC=∠OMC=∠C=90°，
∴四边形OMCN是矩形，
∵OM=ON，
∴四边形OMNC是正方形，
∴△AOM是等腰直角三角形，
∴AM=OM=2，
∴S₁=S_{正方形ONCM}-S_扇形OMN=2×2-

90

360

×π×2²=4-π；
S₂=S_△AOM-S_扇形FOM=

1

2

×2×2-

45

360

×π×2²=2-

π

2

；
∴

S1

S2

=

4-π

2- π 2

=2．

点评：此题考查了切线的性质、正方形的判定与性质以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．