Question

8．若关于x的一元二次方程x²+（4m+1）x+2m-1=0．
（1）求证：不论m为任何实数，方程有两个不相等的实数根；
（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根的倒数和为-3？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=16m²+4≥4，由此即可证出结论；
（2）设方程的两根为x₁、x₂，根据根与系数的关系可得出x₁+x₂=-4m-1、x₁•x₂=2m-1，将$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$变形为$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$，代入数据即可得出关于m的分式方程，解方程经检验后即可得出结论．

解答 （1）证明：∵在方程x²+（4m+1）x+2m-1=0中，△=（4m+1）²-4（2m-1）=16m²+4≥4，
∴不论m为任何实数，方程有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根为x₁、x₂，则：
x₁+x₂=-4m-1，x₁•x₂=2m-1，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=-$\frac{4m+1}{2m-1}$=-3，
解得：m=2，
经检验后得：m=2是分式方程-$\frac{4m+1}{2m-1}$=-3的解，
∴当m=2时，方程的两个实数根的倒数和为-3．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“两根之和等于-$\frac{b}{a}$，两根之积等于$\frac{c}{a}$”是解题的关键．