Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+1经过点A（4，-3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；
（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO=5，PH=5，由此发现，PO=PH（填“＞”、“＜”或“=”）；
②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，把点A（4，-3）代入抛物线的解析式，即可解决问题．
（2）①求出PO、PH的长，即可解决问题．
②结论：PO=PH．设点P坐标（m，-$\frac{1}{4}$m²+1），利用两点之间距离公式求出PH、PO即可解决问题．

解答 （1）解：∵抛物线y=ax²+1经过点A（4，-3），
∴-3=16a+1，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+1，顶点B（0，1）．

（2）①当P点运动到A点处时，∵PO=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，PH=2-（-3）=5，
∴PO=PH，
故答案分别为5，5，=．

②结论：PO=PH．
理由：设点P坐标（m，-$\frac{1}{4}$m²+1），
∵PH=2-（-$\frac{1}{4}$m²+1）=$\frac{1}{4}$m²+1
PO=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴PO=PH．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、点到直线的距离，两点间距离公式等知识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，熟练掌握完全平方公式，属于中考常考题型．