题目内容
19．
如图，OA=OB=10，AB=12，点A在x轴正半轴上，过点O作OC⊥AB于点C，作BD垂直y轴于D，若动点E从原点O出发，沿线段OC向终点C运动，动点F从点D出发，沿线段DO向终点O运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒．（1）请直接写出点A，点D的坐标．
（2）用含t的表达式表示△OEF的面积．
（3）设EF与OB相交于点P，当t为何值时，△OPF与△OBD相似？
分析 （1）根据等腰三角形的性质可直接得出A点坐标；根据三角形的面积公式，进而得出D点坐标；
（2）过点E作EH⊥OA于点H，如图2所示：根据相似三角形的性质求得OH=$\frac{4t}{5}$，然后根据三角形的面积公式即可得出t的值；
（3）由于∠BOD=∠FOP，△OPF∽△ODB和△OPF∽△OBD两种情况进行讨论．
解答 
解：（1）∵OA=OB=10，点A在x轴正半轴上，
∴A（8，0），∵OC⊥AB，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=6，
∴OC=$\sqrt{O{A}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
过B作BG⊥x轴于G，则四边形DOGB是矩形，
∴BG=OD，
∴S△AOB=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$OA•BG，
∴AB•OC=OA•BG，
∵AB=12，OC=8，OA=10，
∴BG=$\frac{48}{5}$，
∴D（0，$\frac{48}{5}$）；
（2）过点E作EH⊥OA于点H，如图2所示：
∴△OEH∽△OAC，
∴$\frac{OE}{OA}=\frac{OH}{OC}$，
∴$\frac{t}{10}$=$\frac{OH}{8}$，
∴OH=$\frac{4t}{5}$，
∵OF=$\frac{48}{5}$-t，
∴S△EFO=$\frac{1}{2}$OF•OH=-$\frac{2{t}^{2}}{5}$+$\frac{96}{25}$t；
（3）因为∠BOD=∠FOP，所以应分两种情况讨论：
①当∠FPO=∠BDO=90°时，如图3，
则∠OPE=∠OCB=90°，∴△OPF∽△ODB，△OPE∽△OCB，
∴$\frac{OP}{OD}=\frac{OF}{OB}$，$\frac{OE}{OB}=\frac{OP}{OC}$，
∴OP•OB=OD•OF，OE•OC=OP•OF，
∴OF•OD=OE•OC，
∴（$\frac{48}{5}$-t）×$\frac{48}{5}$=8t，
∴t=$\frac{288}{55}$；
②当∠OFP=∠ODB=90°时，如图4，过P作PH⊥OC于H，
∴PH∥BC，∴$\frac{OH}{OC}=\frac{OP}{OB}$，
∵EF∥OA，∴∠PEO=∠EOA，
∵∠POE=∠AOC，
∴∠POE=∠PEO，
∴OP=PE，
∴OH=$\frac{1}{2}$OE=$\frac{t}{2}$，
∵△OPF∽△OBD，
∴$\frac{OF}{OD}=\frac{OP}{OB}$，
∴$\frac{OF}{OD}=\frac{OH}{OC}$，
∴$\frac{\frac{48}{5}-t}{\frac{48}{5}}$=$\frac{\frac{t}{2}}{8}$，
∴t=6，
综上所述，当t=$\frac{288}{55}$秒或t=6秒时，△OPF与△OBD相似．
点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论，不要漏解．
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