Question

4．如图，已知⊙0与等腰△ABD的两腰AB、AD分别相切于点E、F，连接AO并延长到点C，使OC=AO，连接CD、CB．
（1）试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）若AB=4cm，填空：
①当⊙O的半径为$\sqrt{3}$ cm时，△ABD为等边三角形；
②当⊙O的半径为2 cm时，四边形ABCD为正方形．

Answer 1

分析 （1）由AB、AD分别相切于点E、F，得到∠EAO=∠FAO，于是得到OD=OB，根据AO=OC，推出四边形ABCD是平行四边形，于是得到结论；
（2）①连接OE由切线的性质得到OE⊥AD，由△ABD为等边三角形，得到BD=AB=AD=4，根据直角三角形的性质得到结论由正方形的性质得到∠DAO=∠ADO=45°，由AD=AB=4，得到OA=OD=2$\sqrt{2}$，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）四边形ABCD是菱形，
理由如下：∵AB、AD分别相切于点E、F，
∴∠EAO=∠FAO，
∴OD=OB，
∵AO=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴?ABCD是菱形；

（2）①当⊙O的半径为$\sqrt{3}$时，△ABD为等边三角形；
连接OE，∵AD切⊙O于点E，
∴OE⊥AD，
∵△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=AD=4，
∴∠DAO=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$BD=2，AO=2$\sqrt{3}$，
∴OE=$\frac{1}{2}$AO=$\sqrt{3}$，
∴当⊙O的半径为$\sqrt{3}$时，△ABD为等边三角形；
故答案为：$\sqrt{3}$；
②当⊙O的半径为2cm时，四边形ABCD为正方形；
如图，∴∠DAO=∠ADO=45°，
∵AD=AB=4，
∴OA=OD=2$\sqrt{2}$，
由（2）知，OE⊥AD，
∴OE=AE=2，
∴当⊙O的半径为2cm时，四边形ABCD为正方形；
故答案为：2．

点评 本题考查了切线的性质，菱形的判定，等边三角形的性质，正方形的性质，熟记切线的性质定理是解题的关键．