Question

如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，∠BCD=135°，且AB=3cm，BC=7cm，CD=5

2

cm，点M从点A出发沿折线A-B-C-D运动到点D，且在AB上运动的速度为

1

2

cm/s，在BC上运动的速度为1cm/s，在CD上运动的速度为

2

cm/s，连接AM、DM，当点M运动时间为

 

（s）时，△ADM是直角三角形．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,勾股定理

专题：动点型

分析：过点D作DE⊥BC，根据∠BCD=135°，得∠ECD=45°，在Rt△CDE中，由CD=5

2

cm，可得出CE=DE=5cm，再根据当点M在AB上时，△ADM是锐角三角形；当点M在BC上时，△ADM有可能是直角三角形；当点M在CD上时，△ADM是钝角三角形；可证明△ABM∽△MED，从而得出t的值即可．

解答：解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，
∵∠BCD=135°，
∴∠ECD=45°，
在Rt△CDE中，∵CD=5

2

cm，
∴由勾股定理得CE=DE=5cm，
∴当点M在AB上时，△ADM是钝角三角形；
当点M在CD上时，△ADM是钝角三角形；
当点M在BC上时，△ADM有可能是直角三角形；
∵∠B=90°，
∴∠BAM+∠AMB=90°，
∵∠AMD=90°，
∴∠AMB+∠DME=90°，
∴∠MAB=∠DME，
∴△ABM∽△MED，
∴

AB

ME

=

BM

DE

，
∵在AB上运动的速度为

1

2

cm/s，在BC上运动的速度为1cm/s，
∴设运动时间为t，
∵AB=3cm，BC=7cm，
∴BM=（t-6）cm，
∴ME=MC+EC=7-（t-6）+5=（18-t）cm，
∴

3

18-t

=

t-6

5

，
解得t=12±

21

（舍去正号），
∴t=12-

21

．
故答案为12-

21

．

点评：本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，还用到了相似三角形的判定，分类讨论思想的运用．