Question

10．把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O₁处（即点B处），点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₁处，又将正方形纸片AO₁C₁B₁绕B₁点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为$\frac{15\sqrt{2}+31}{2}$π．

Answer 1

分析 第一次以A为圆心OA为半径的弧长，旋转了90°，第二次以B₁为圆心，正方形的对角线为半径，旋转角为90°，第三次以B₁为圆心，OA长为半径，旋转90°，第四次以O为旋转中心，此时O点没有运动，四次后O点又回到初始状态的相对位置，四次一循环，再利用弧长的计算公式分别计算即可．

解答 解：由题意可知每旋转四次O点经过的路程为：$\frac{1}{4}$×2π+$\frac{1}{4}$×2$\sqrt{2}$π+$\frac{1}{4}$×2π=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π，
∵经过61次旋转，顶点O经过的路程是4次旋转路程的15倍加上第1次路线长，
∴经过61次旋转后，顶点O经过的总路程=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π×15+$\frac{1}{2}$π=$\frac{15\sqrt{2}+31}{2}$π．
故答案为$\frac{15\sqrt{2}+31}{2}$π．

点评 本题考查了旋转变换的性质，正方形的性质以及弧长的计算，读懂题意，确定出前四次O点经过的路线是解题的关键，注意规律的寻找．