题目内容

一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系用如图所示的二次函数图象表示．（铅球从A点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）
（1）由已知图象上的三点，求y与x之间的函数关系式；
（2）求出铅球被推出的距离；
（3）若铅球到达的最大高度的位置为点B，落地点为C，求四边形OABC的面积．

解：（1）设y与x之函数关系式为y=ax²+bx+c
由图象得，图象经过（-2，0），（0， $\text{[math]}$ ），（2， $\text{[math]}$ ）三点，则：
$\text{[math]}$
解得：a=- $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，c= $\text{[math]}$
∴y与x之间的函数关系式为y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；

（2）令y=0，则- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ =0
解得：x₁=10，x₂=-2（不合题意，舍去）
∴铅球被推出的距离是10米；

（3）过B作BD⊥OC于D
∵y=- $\text{[math]}$ （x²-8x-20））=- $\text{[math]}$ （x-4）²+3
∴B点坐标（4，3）
由（2）得C点坐标是（10，0）
∴S_{四边形OABC}=S_梯形OABD+S_△BDC= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ +3）×4+ $\text{[math]}$ ×6×3=18 $\text{[math]}$ ．
答：四边形OABC的面积为18 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由已知图象上的三点坐标，设一般式y=ax²+bx+c，列方程组，求解析式；
（2）求OC长，令y=0，求x的值；
（3）求面积要抓住A、B、C三点坐标，把四边形分割成一个直角梯形和一个直角三角形，求面积和．
点评：题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．