Question

16．如图，等腰梯形AEBC中，EF是高，经过点F作GF⊥AC，点G为垂足，2FG=AC，且DF⊥GF．
（1）求证：DF=FG；
（2）如果GF=3GC，求CF：BF的值．

Answer 1

分析 （1）首先通过余角的性质证得∠C=∠EFG，然后根据等腰梯形的性质证得∠EFG=∠B，进一步证得∠DFB=∠B，得出DF=DB，进而证得∠BEF=∠EFD，得出DF=ED，从而得出2DF=BE，然后根据等腰梯形的性质赫尔已知条件即可证得结论；
（2）根据勾股定理求得CF=$\sqrt{10}$GC，进一步求得AC=6GC，证得△FGC∽△EFB，根据三角形相似的性质求得FB=$\frac{EB}{\sqrt{10}}$=$\frac{6GC}{\sqrt{10}}$，即可求得CF：FB=5：3．

解答 （1）证明：∵等腰梯形AEBC中，EF是高，
∴∠B=∠C，∠EFC=∠EFG+∠GFC=90°，∠EFD+∠DFB=90°，
∵GF⊥AC，
∴∠C+∠GFC=90°，
∴∠C=∠EFG，
∴∠EFG=∠B，
∵DF⊥GF，
∴∠EFG+∠EFD=90°，
∴∠DFB=∠EFG，
∴∠DFB=∠B，
∴DF=DB，
∵∠BEF+∠B=90°，
∴∠BEF=∠EFD，
∴DF=ED，
∴2DF=BE，
∵2FG=AC，AC=BE，
∴DF=FG；
（2）解：在RT△GCF中，GF=3GC，
∴CF=$\sqrt{G{F}^{2}+G{C}^{2}}$=$\sqrt{10}$GC，
∵2FG=AC，
∴AC=6GC，
∴EB=6GC，
∵∠C=∠B，∠FGC=∠EFB=90°，
∴△FGC∽△EFB，
∴$\frac{EB}{FB}$=$\frac{CF}{GC}$=$\sqrt{10}$，
∴FB=$\frac{EB}{\sqrt{10}}$=$\frac{6GC}{\sqrt{10}}$，
∴$\frac{CF}{FB}$=$\frac{\sqrt{10}GC}{\frac{6GC}{\sqrt{10}}}$=$\frac{5}{3}$．
∴CF：FB=5：3．

点评 本题考查了等腰梯形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．