Question

如图，抛物线y=ax²+2ax+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，tan∠CBO=2，动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）①直接写出点P所经过的路径长；
    ②若点Q在直线AC上方的抛物线上，且四边形PDCQ是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连结EF，求EF的最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意得出C点坐标，进而得出B点坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）①根据已知可得点P所经过的路径长，正好是△ABC的中位线长，进而求出即可；
②首先求出BC的解析式进而求出QH的解析式，再将二次函数与直线QH相结合进而求出交点坐标即可；
（3）利用已知得出PE=PF，∠EPF=2∠EAF=90°，要使EF最小，只要使PE最小，要使PE最小，只要使AD最小，即AD⊥BC时AD最小，进而求出即可．

解答：解：（1）当x=0时，y=4，
∴C（0，4），OC=4
∵tan∠CBO=2，∴OB=2，B（2，0），
代入解析式解得：0=a×2²+2a×2+4，
解得：a=-

1

2

，
故抛物线解析式为：y=-

1

2

x2-x+4；

（2）①∵CO=4，BO=2，
∴BC=2

5

，
∵直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点，
∴点P所经过的路径长，正好是△ABC的中位线长，
∴点P所经过的路径长为：

5

；

②如图1，∵四边形PDCQ是平行四边形，
∴QH∥BC，
∵P是线段AD的中点，
∴H是线段AB的中点，
∵-

1

2

x²-x+4=0
解得：x₁=2，x₂=-4，
∴A（-4，0），
∴H（-1，0），
设BC的解析式为：y=kx+d，
则

d=4 2k+d=0

，
解得：

k=-2 d=4

，
∴直线BC的解析式为：y=-2x+4，
设QH的解析式为y=-2x+b，
把H点的坐标代入得 b=-2，
故

y=- 1 2 x2-x+4 y=-2x-2

解得x=1±

13

∵点Q在直线AC上方的抛物线上，
∴

x=1- 13 y=2 13 -4

，
∴Q(1-

13

，2

13

-4)；

（3）如图2，∵DE⊥AC
∴∠AED=90°，∵P是线段AD的中点，
∴PE=PA=

1

2

AD，
∴∠PAE=∠PEA，
∴∠EPD=2∠EAF，
同理PF=

1

2

AD，∠DPF=2∠PAF，
∴PE=PF，∠EPF=2∠EAF=90°
∴要使EF最小，只要使PE最小
要使PE最小，只要使AD最小，
即AD⊥BC时，AD最小，
则AD×2

5

=6×4，
解得：AD=

12 5

5

，
故PE=

6

5

5

，
则FE_最小==

6

5

5

×

2

=

6

5

10

．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式以及勾股定理等知识，得出要使PE最小，只要使AD最小，当AD⊥BC时，AD最小进而求出是解题关键．