Question

如图①所示，矩形ABCD一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA，△PDA的面积是△OCP的面积的4倍．

（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）求边AB的长；
（3）连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．
①按上面的叙述在图②中画出正确的图象；
②当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）利用折叠和矩形的性质可得到∠C=∠D，∠APD=∠POC，可证得相似；
（2）利用面积比可求得PC的长，在Rt△APD中利用勾股定理可求得AB的长；
（3）①结合描述画出图形即可，②作MQ∥AN交PB于点Q，利用条件证明△MFQ≌△NFB，得到EF=

1

2

PB，且可求出PB的长，可得出结论．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，
∴∠APO=90°，
∴∠APD=90°-∠CPO=∠POC，
∴△OCP∽△PDA；
（2）解：∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴

CP

DA

=

1 4

=

1

2

，
∴CP=4，
设AB=x，则AP=x，DP=x-4，
在Rt△ADP中，由勾股定理可得AP²=AD²+DP²，
即x²=8²+（x-4）²，解得x=10，
即边AB的长为10；
（3）解：①如图所示，

②EF的长度不变，理由如下：
作MQ∥AN，交PB于点Q，如上图，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，
∴∠∠APB=∠MQP，
∴MP=MQ，
∵ME⊥PQ，
∴PE=EQ=

1

2

PQ，
∵BN=PN，MP=MQ，
∴BN=QM，
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，

∠QMF=∠BNF ∠QFM=∠BFN QM=BN

，
∴△MFQ≌△NFB（AAS），
∴QF=BF，
∴QF=

1

2

QB，
∴EF=EQ+QF=

1

2

PQ+

1

2

QB=

1

2

PB，
又由（1）可知在Rt△PBC中，BC=8，PC=4，
∴PB=4

5

，
∴EF=2

5

，
即EF的长度不变．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及矩形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用．在（1）中掌握好相似三角形的判定是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求得PC的长是解题的关键，在（3）的②中把EF用PB表示出来是解题的关键．注意方程思想的应用．本题知识点较多，综合性较强，难度较大．