Question

11．我们知道，像3、4、5这样能构成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数，古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式为：如果m表示大于1的整数，a=2m，b=m²+1，c=m²-1，则a、b、c为勾股数．
利用柏拉图公式构造出的勾股数，斜边和其中一直角边的差为1，特别地，当n为大于2的整数时，可以构造出最短边的长度为偶数的勾股数．
任务：（1）请你证明柏拉图公式的正确性．
（2）请你利用柏拉图公式，写出两组勾股数（数据从小到大排列）
第一组：8、15、17；
第二组：12、3537．

Answer 1

分析 （1）欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
（2）利用a=2m，b=m²+1，c=m²-1，则a、b、c为勾股数进行计算即可．

解答 （1）证明：∵m表示大于1的整数，
∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，
∵（2m）²+（m²-1）²=（m²+1）²，
∴a²+b²=c²，
即a、b、c为勾股数．

（2）第一组：8，15，17；
第二组：12，35，37．

点评 此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形．