Question

4．如图，AD是△ABC的外角平分线，且$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，求证：C是BD的黄金分割点．

Answer 1

分析 过C作CE∥AD，交AB于点E，只要证明CD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$BD即可解决问题．

解答 证明：过C作CE∥AD，交AB于点E，

∵CE∥AD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵AD平分外角，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴AE=AC，
∵CE∥AD，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$，
∵$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴BD=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$CD，
∴CD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$BD，
即C是BD的黄金分割点．

点评 本题考查黄金分割点、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．