如图.在等腰Rt△ABC中.AB=BC,AD平分∠BAC交BC边于点D.点E是AD边上靠近端点A的一动点.以AE为边往上作等腰Rt△AEF.且AE=EF.延长FE交AC于点G,点M为FC中点.连接BM.EM.BE.DM,则下列5个结论:①FA=FG,②△ABD与△ACD的面积比为1:$\sqrt{2}$,③AC=BD,④∠MDC=90°,⑤△BME为等腰三角形.但不一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．

如图，在等腰Rt△ABC中，AB=BC；AD平分∠BAC交BC边于点D，点E是AD边上靠近端点A的一动点，以AE为边往上作等腰Rt△AEF，且AE=EF，延长FE交AC于点G；点M为FC中点，连接BM、EM、BE、DM；则下列5个结论：①FA=FG；②△ABD与△ACD的面积比为1：$\sqrt{2}$；③AC=（$\sqrt{2}$+1）BD；④∠MDC=90°；⑤△BME为等腰三角形，但不一定为直角三角形，其中正确的有（　　）个．

A．

B．

C．

D．

分析 ①正确．只要证明∠FAG=∠FGA=67.5°即可．
②正确．作DN⊥AC于N，因为DA平分∠BAC，∠DAB=∠DAC，所以DB=DN，故$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{\frac{1}{2}•AB•DB}{\frac{1}{2}•AC•DN}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$．
③错误．由△ADN≌△ADB，可知AN=AB=BC，所以DC=$\sqrt{2}$DN=$\sqrt{2}$BD，所以AC=AN+CN=BC+BD=2BD+$\sqrt{2}$BD=（2+$\sqrt{2}$）BD．
④错误．观察图2，即可解决问题．
⑤错误．如图1中，延长EM到H，使得MH=EM，连接BH、CH延长AD交CH的延长线于K．先证明△MFE≌△MCH，再证明△BAE≌△BCH，即可证明△EBM是等腰直角三角形．

解答解：如图1中，

∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，AC=$\sqrt{2}$AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC=22.5°，
∵EA=EF，∠AEF=90°，
∴∠EAF=∠EFA=45°，
∴FAG=67.5°，∠FGA=180°-∠FAG-∠AFE=67.5°，
∴∠FAG=∠FGA，
∴FA=FG，故①正确，
作DN⊥AC于N，
∵DA平分∠BAC，∠DAB=∠DAC，
∴DB=DN，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{\frac{1}{2}•AB•DB}{\frac{1}{2}•AC•DN}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，故②正确，
由△ADN≌△ADB，可知AN=AB=BC，
∴DC=$\sqrt{2}$DN=$\sqrt{2}$BD，
∴AC=AN+CN=BC+BD=2BD+$\sqrt{2}$BD=（2+$\sqrt{2}$）BD，故③错误，
如图2中，当点M在线段AD上时，∠MDC=∠ABD+∠BAD＞90°，故④错误．

如图1中，延长EM到H，使得MH=EM，连接BH、CH延长AD交CH的延长线于K．
在△MFE和△MCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{MF=MC}\\{∠FME=∠CMH}\\{EM=MH}\end{array}\right.$，
∴△MFE≌△MCH，
∴CH=EF=AE，∠MFE=∠MCH，
∴EF∥CK，
∴∠FED=∠K=90°，
∵∠BAE+∠ADB=90°，∠BCH+∠CDK=90°，∠ADB=∠CDK，
∴∠BAE=∠BCH，
在△BAE和△BCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠BAE=∠BCH}\\{AE=CH}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BCH，
∴BE=BH，∠ABE=∠CBH，
∴∠EBH=∠ABC=90°，∵EM=MH，
∴BM⊥EM，BM=$\frac{1}{2}$EH=EM，
∴△EBM是等腰直角三角形，故⑤错误．
故选A．