题目内容
2．
如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B、C两点，且OC=2OB．（1）求B点坐标和k值；
（2）若点A（x，y）是直线y=kx-1上在第一象限内的一个动点，当点A在运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式；并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：
①当A点运动到什么位置时，△AOB的面积为$\frac{1}{4}$；
②在①成立的情况下，y轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点坐标；若不存在，请说明理由．
分析 （1）将x=0代入直线的解析式得到y=-1，故此OC=1，从而得到点B的坐标为（$\frac{1}{2}$，0），将点B的坐标代入y=kx-1可求得k=2；
（2）如图1所示：过点A作AD⊥x轴，垂足为D．先求得直线的解析式y=2x-1，然后利用三角形的面积公式可得到S=$\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$（x$＞\frac{1}{2}$）；
（3）①令S=$\frac{1}{4}$解得x=1，于是可求得A（1，1）；
②可根据AP=AO、PA=PO、OP=OA三种情况画图求解即可．
解答 解：（1）∵将x=0代入得：y=-1，
∴点C的坐标为（0，-1）．
∴OC=1．
∵OC=2OB，
∴OB=$\frac{1}{2}$．
∴点B的坐标为（$\frac{1}{2}$，0）．
将点B的坐标代入y=kx-1得；$\frac{1}{2}k-1=0$．
解得：k=2．
（2）如图1所示：过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
∵k=2，
∴直线的解析式为y=2x-1．
∴${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}OB•AD$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×（2x-1）$=$\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$．
∴S=$\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$（x$＞\frac{1}{2}$）．
（3）①令S=$\frac{1}{4}$得：$\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$．
解得：x=1．
将x=1代入y=2x-1得：y=1．
∴点A的坐标为（1，1）．
∴当点A的运动到（1，1）处时，△AOB的面积为$\frac{1}{4}$．
②∵点A的坐标为（1，1），
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
当AP=AO时，如图2所示：过点A作AB⊥y轴，垂足为B．
∵AP=AO，AB⊥OP，
∴OB=PB．
∴点P的坐标为（0，2）．
当PA=PO时，如图3所示：
∵PO=PA=1，
∴点P的坐标为（0，1）．
如图4所示：当OP=OA时，
∵OP=OA=$\sqrt{2}$，
∴点P的坐标为（0，$\sqrt{2}$）．
如图5所示：当OP=OA时，
∵OP=OA=$\sqrt{2}$，
∴点P的坐标为（0，-$\sqrt{2}$）．
综上所述，点P的坐标为（0，2）或（0，1）或（0，$\sqrt{2}$）或（0，-$\sqrt{2}$）．
点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用、解答本题主要应用了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的判定，根据AP=AO、PA=PO、OP=OA画出符合题意的图形是解题的关键．
通城学典默写能手系列答案| A． | 如果∠1=∠2，则∠1和∠2是对顶角 | |
| B． | 锐角的对顶角也是锐角 | |
| C． | 对顶角都是锐角 | |
| D． | 如果∠1和∠2有公共的顶点．则∠1和∠2是对顶角 |
如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反此列函数y=$\frac{m}{x}$在第一象限的图象交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D．如果OA=OB=OD=1，求：
在△ABC中，∠C=90°，解这个直角三角形．
已知：如图，在数轴上，点A表示的数为10，点B表示的数为13，点M丧示的数是-20．求：| A． | -1-（-$\frac{1}{2}$）=-1$\frac{1}{2}$ | B． | |a-3|=a-3 | C． | （-7.3）+6.4=-0.9 | D． | 8+|-8|=0 |