Question

19．已知如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，连接CF交AD于点G．试猜想AD和CF有什么关系？并证明你的猜想．

Answer 1

分析 先证出CD=DB，BF=DB，得出BF=CD，再证出∠CBF=∠ACD，由BC=AC，即可证出Rt△CBF≌Rt△ACD（SAS），得到AD=CF，∠BCF=∠CAD，从而证出∠AGC=90°，得出AD⊥CF．

解答 解：AD=CF，AD⊥CF．
证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵DE⊥AB，∴∠BDE=∠CBA=45°，
∵BF∥AC，∴∠DBF=180°-90⁰=90⁰，
∴△DBF为等腰直角三角形，BF=BD，
∵D为BC的中点，∴BF=BD=CD．
在△ACD和△CBF中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠ACD=∠CBF}\\{CD=BF}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△CBF（SAS）
∴AD=CF，
∴∠CAD=∠BCF，
∵∠ACD=90°，即∠ACG+∠BCF=90°，
∴∠ACG+∠CAG=90°，∴∠AGC=90°，
∴AD⊥CF．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是关键．