Question

16．已知：如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠ABC=∠BCD=90°，BD与AC相交于点E，AB=9，cos∠BAC=$\frac{3}{5}$，tan∠DBC=$\frac{5}{12}$．
求：（1）边CD的长；
（2）△BCE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题目中的数据和锐角三角函数可以求得CD的长；
（2）根据题意可以求得BC和BC边上的高，从而可以求得△BCE的面积．

解答 解：（1）∵∠ABC=∠BCD=90°，AB=9，cos∠BAC=$\frac{3}{5}$，tan∠DBC=$\frac{5}{12}$，
∴设CD=5a，则BC=12a，AB=9a，
∴9a=9，得a=1，
∴CD=5a=5，
即CD的长是5；

（2）由（1）知，AB=9，BC=12，CD=5，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{CD}{AB}=\frac{5}{9}$，
作EF∥AB交CB于点F，
则△CEF∽△CAB，
∴$\frac{CE}{CA}=\frac{EF}{AB}$，
∴$\frac{5}{14}=\frac{EF}{9}$，
解得，EF=$\frac{45}{14}$，
∴△BCE的面积是：$\frac{BC•EF}{2}=\frac{12×\frac{45}{14}}{2}=\frac{135}{7}$．

点评 本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和勾股定理解答．