Question

如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，点A坐标为（-4，0），点B坐标为（-2，0），点C坐标为（-2，4），若直线l是一次函数y=2x+b图象．
（1）请求出直线l经过矩形ABCD对角线交点时b的值；
（2）当b满足什么条件，直线l与矩形ABCD有交点？
（3）若直线l与矩形ABCD的两边分别交于E、F两点，△EOF能否为等腰三角形？若能请直接写出对应的b值；若不能请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据相似三角形的性质，可得AM与AC的关系，根据矩形的性质，可得MN与AN的值，可得点M的坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得b值，根据直线的平移，可得b的取值范围；
（3）要分类讨论，OE=OF，OF=EF，EF=OE，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．

解答：解：（1）设对角线交点为点M，作MN垂直于x轴于点N
∴MN∥CB
∴

MN

BC

=

AM

AC

=

AN

AB

∵点B坐标为（-2，0），点C坐标为（-2，4），点A坐标为（-4，0）
∴AB=2，BC=4
∵矩形ABCD，
∴AM=

1

2

AC
∴MN=2，AN=1
∴点M坐标为（-3，2）
∴将点M（-3，2）代入y=2x+b，
解得b=8；   
（2）∵矩形ABCD
∴CD∥AB，CD=AB
∴点D坐标为（-4，4）
∴将点B（-2，0）代入y=2x+b，
解得b=4
将点D坐标（-4，4）代入y=2x+b，
解得b=12　 
∴直线l与矩形ABCD有交点则4≤b≤12；   　   
（3）b1=

20

3

，b2=5+

5

，b₃=8，b4=28-2

86

．

点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了相似三角形的性质，待定系数法求解；（2）直线的平移是解题关键，过B点时，b值最小，过D点时B最大；（3）分类讨论是解题关键，以防漏掉．