题目内容
如图1，点D为△ABC内一点，连结BD，CD．
（1）探究∠BDC与∠A，∠ABD，∠ACD之间的关系，并说明理由；
（2）请直接用（1）中的结论，解决以下三个问题：
①当∠BDC=120°时，若∠A=50°，则∠ABD+∠ACD= °；
②如图2，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BDC=120°，∠A=50°，求∠BEC的度数；
③如图3，∠ABD，∠ACD的n等分线相交于点E1，E2，…，En-1，若∠BDC=x°，∠BE1C=y°，求∠A的度数（用含x，y，n的式子表示）．
（1）探究∠BDC与∠A，∠ABD，∠ACD之间的关系，并说明理由；
（2）请直接用（1）中的结论，解决以下三个问题：
①当∠BDC=120°时，若∠A=50°，则∠ABD+∠ACD=
②如图2，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BDC=120°，∠A=50°，求∠BEC的度数；
③如图3，∠ABD，∠ACD的n等分线相交于点E1，E2，…，En-1，若∠BDC=x°，∠BE1C=y°，求∠A的度数（用含x，y，n的式子表示）．
考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质
专题：
分析：（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，由外角定理可知，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，则容易得到∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD；
（2）①由（1）的结论可得∠ABD+∠ACD=∠BDC-∠A，代入数值即可求得；
②结合图形可得∠BDC=∠ABD+∠A+∠ACD，代入∠A=50°，∠BDC=120°即可得到∠ABD+∠ACD的值，再利用上面得出的结论可知∠BEC=
（∠ABD+∠ACD）+∠A，易得答案．
③由（2）的方法，推广到一般进而可得答案．
（2）①由（1）的结论可得∠ABD+∠ACD=∠BDC-∠A，代入数值即可求得；
②结合图形可得∠BDC=∠ABD+∠A+∠ACD，代入∠A=50°，∠BDC=120°即可得到∠ABD+∠ACD的值，再利用上面得出的结论可知∠BEC=
| 1 |
| 2 |
③由（2）的方法，推广到一般进而可得答案．
解答：解：（1）∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD；
理由如下：
连接AD并延长到E点，
∵∠BDE=∠BAE+∠ABD，
∠EDC=∠EAC+∠ACD，
∴∠BDE+∠EDC=∠BAE+∠EAC+∠ABD+∠ACD，
∵∠BDC=∠BDE+∠EDC，
∠BAC=∠BAE+∠EAC，
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD．
（2）①当∠BDC=120°时，若∠A=50°，则∠ABD+∠ACD=∠BDC-∠A=120°-50°=70°．
②∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，
∴∠ABE=
∠ABD，∠ACE=
∠ACD，
∠BEC=∠ABE+∠ACE+∠A=
（∠ABD+∠ACD）+∠A=
×（120°-50°）+50°=85°；
③以此类推
（∠BDC-∠A）+∠A=∠BE1C，
则∠A=
°．
理由如下：
连接AD并延长到E点，
∵∠BDE=∠BAE+∠ABD，
∠EDC=∠EAC+∠ACD，
∴∠BDE+∠EDC=∠BAE+∠EAC+∠ABD+∠ACD，
∵∠BDC=∠BDE+∠EDC，
∠BAC=∠BAE+∠EAC，
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD．
（2）①当∠BDC=120°时，若∠A=50°，则∠ABD+∠ACD=∠BDC-∠A=120°-50°=70°．
②∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，
∴∠ABE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∠BEC=∠ABE+∠ACE+∠A=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
③以此类推
| 1 |
| n |
则∠A=
| ny-x |
| n-1 |
点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系；熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
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