Question

7．如图，在正方形ABCD中，AB=8，Q是CD的中点，设∠DAQ=α，在CD上取一点P，使∠BAP=2α，求CP的长度．

Answer 1

分析 取BC的中点E，连接AE，作EF⊥AP，证明△ABE≌△AFE，得EF=BE=EC，得△EFP≌△ECP，得△ECP∽△ABE．即可求CP的长度．

解答 解：取BC的中点E，连接AE，作EF⊥AP，
则△ABE≌△ADQ，得EB=EC=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠EFA=∠EBA}\\{∠BAE=∠FAE}\end{array}\right.$
得：△ABE≌△AFE，
∴∠AEB=∠AEF，
得EF=EB=EC，
∵PE=PE，
∴∠ECP=∠EFP=90°，
∴△EPC≌△EPF，
∴∠FEP=∠PEC，
∴∠AEP=∠AEF+∠FEP=90°，
∴∠PEF=∠PEC=∠EAP=∠EAB，
∴△CEP∽△BAE，
∴$\frac{PC}{EC}$=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
即PC=2．

点评 本题考查的是全等三角形的判定，相似三角形对应边相等的性质，考查了正方形各边相等，且各内角均为直角的性质，本题求证△AEP是直角三角形是解本题的关键．