题目内容
如图所示，已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，弦AE与CD相交于点F，则有结论AD2＝AE·AF成立(为什么？)．
(1)若将弦CD向下平移至与⊙O相切于点B时(如图所示)，AE·AF是否等于AG2？如果不相等，请探求AE·AF等于哪两条线段的积？并给出证明．
(2)当CD继续向下平移至与⊙O相离时(如图所示)，在(1)中探求的结论是否还成立？并说明理由．
答案：
解析：
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证明：连接DE． 因为CD⊥AB，AB是直径， 所以 所以∠ADC＝∠AED． 又因为∠DAF＝∠EAD， 所以△ADF∽△AED， 所以 所以AD2＝AE·AF． (1)AE·AF不等于AG2，应该有结论AE·AF＝AG·AH． 证明：连接BE，BG． 因为AB是直径，AB⊥CD， 所以∠AEB＝∠AGB＝∠ABF＝∠ABH＝ 因为∠AEB＝∠ABF，∠BAE＝∠FAB， 所以△ABE∽△AFB， 所以 所以AE·AF＝AB2． 同理可证AG·AH＝AB2． 所以AE·AF＝AG·AH． (2)在(1)中探求的结论还成立．证明如下： 连接EG，BG． 因为AB是直径，AB⊥CD于M， 所以∠AGB＝∠AMF＝ 所以∠AFM＋∠FAM＝∠AGE＋∠BGE＝ 因为∠FAM＝∠BGE， 所以∠AFM＝∠AGE． 又∠FAH＝∠GAE， 所以△AFH∽△AGE， 所以 所以AE·AF＝AG·AH． |
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练习册系列答案
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