如图①.在直角梯形ABCD中.AD∥BC.∠B=90°.AB=CB=4.AD=2．点P从B点出发.沿线段BC向点C运动.运动速度为每秒2个单位,点Q从D点出发.沿线段DA向点A运动.运动速度为每秒1个单位.当Q点到达终点时.两点均停止运动．过点Q作垂直于AD的直线交线段AC于点M.交线段BC于点N．设运动的时间为t．(1)分别求出MC和NC长,(2)当四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=CB=4，AD=2．点P从B点出发，沿线段BC向点C运动，运动速度为每秒2个单位；点Q从D点出发，沿线段DA向点A运动，运动速度为每秒1个单位，当Q点到达终点时，两点均停止运动．过点Q作垂直于AD的直线交线段AC于点M，交线段BC于点N．设运动的时间为t．
（1）分别求出MC和NC长（用含有t的式子表示）；
（2）当四边形PCDQ为平行四边形时，求t的值；
（3）是否存在某一时刻t，使得直线QN同时平分△ABC的周长和面积？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）如图②，连接PM，请直接写出当t为何值时，△PMC为等腰三角形．

分析（1）设QD=t，BP=2t，再利用等腰直角三角形和三角函数的性质进行解答即可；
（2）根据平行四边形的性质进行解答即可；
（3）根据三角形的面积公式和一元二次方程的解法进行解答即可；
（4）分三种情况利用等腰三角形的性质进行解答即可．

解答解：（1）由题意可知：QD=t，BP=2t，
AQ=2-t=BN，
∴NC=4-（2-t）=t+2，
∵∠B=90°，AB=CB，
∴∠BCA=45°，
∴MC=$\frac{NC}{cos45°}=\sqrt{2}$（t+2）=$\sqrt{2}$t+2$\sqrt{2}$；
（2）若四边形PCDQ为平行四边形，
则PC=DQ，
∵BP=2t，
∴PC=4-2t，
∴4-2t=t，
解得：t=$\frac{4}{3}$，
∴t=$\frac{4}{3}$秒时，四边形PCDQ为平行四边形；
（3）不存在，理由如下：
假设QN平分了△ABC的面积
则$\frac{1}{2}N{C}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}B{C}^{2}$，即$\frac{1}{2}（t+2）^{2}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×{4}^{2}$，
解得：${t}_{1}=2\sqrt{2}-2，{t}_{2}=-2\sqrt{2}-2$（舍），
此时，NC=$2\sqrt{2}$，MC=8，BN=4-2$\sqrt{2}$，AM=$4\sqrt{2}$-8，
∴BN+AB+AM=4-$2\sqrt{2}$+4+$4\sqrt{2}$-8=$2\sqrt{2}$，
MC+NC=8+$2\sqrt{2}$，
∴BN+AB+AM≠MC+NC，
∴不存在某个时刻使得直线QN同时平分△ABC的周长和面积；
（4）当t=0，△PMC为等腰三角形；
当t=$6-4\sqrt{2}$，△PMC为等腰三角形；
当t=$\frac{2}{3}$，△PMC为等腰三角形．