题目内容
1．已知四边形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠D=90°，AD=CD=4，AB=7．现有M、N两点同时以相同的速度从A点出发，点M沿A-B-C-D方向前进，点N沿A-D-C-B方向前进，直到两点相遇时停止．设点M前进的路程为t，△AMN的面积为S．（1）试确定△AMN存在时，路程t的取值范围．
（2）请你求出面积S关于路程t的函数．
（3）当点M前进的路程为多少时，△AMN的面积最大？最大是多少？
分析 （1）作CE⊥AB于点E，求得BC的长，进而求得四边形ABCD的周长，则t的范围即可求得；
（2）分成0＜t≤5，5＜t＜7，7≤t＜10三种情况进行讨论，分别求得函数解析式；
（3）根据（2）中的每种情况分别求得最大值，即可求解．
解答 
解：（1）作CE⊥AB于点E．
△BCE中，CE=AD=4，BE=AB-CD=7-4=3．
则BC=$\sqrt{C{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
则四边形ABCD的周长是4+4+7+5=20，则t的范围是0＜t≤10；
（2）当0＜t≤5时，N在AD上，M在AB上，如图1．
则AN=AM=t，则S=$\frac{1}{2}$t2；
当5＜t＜7时，N在DC上，M在AB上，如图2．
S=$\frac{1}{2}$×4×t=2t；
当7≤t＜10时，N和M都在BC上，如图3．
作CE⊥AB于点E，作AF⊥BC于点F．
∵在△BCE和△BAF中，∠B=∠B，∠CEA=∠BFA，
∴△BCE∽△BAF，
∴$\frac{AF}{CE}=\frac{AB}{BC}$=$\frac{7}{5}$，
∴AF=$\frac{7}{5}$CE=$\frac{28}{5}$．
又∵MN=10-2t，
∴S=$\frac{1}{2}$MN•AF=$\frac{1}{2}$×$\frac{28}{5}$（20-2t），
即S=-$\frac{28}{5}$t+56；
（3）当0＜t≤5时，S的最大值是$\frac{1}{2}$×52=$\frac{25}{2}$，
当5＜t＜7时，当t=7时，S=14，则S＜14；
当7≤t＜10，S=-$\frac{28}{5}$t+56中，当t=7时，S=$\frac{84}{5}$．
总之，S的最大值是$\frac{84}{5}$．
点评 本题考查了梯形的计算以及相似三角形的判定与性质，注意到分情况进行讨论是解决本题的关键．
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同步奥数系列答案
如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P在AD边上移动（不与点A、D重合），过点C作BP的垂线，垂足为点Q．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm，求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．| A． | -7-5+9-4 | B． | 7-5+9-4 | C． | 7-5-9-4 | D． | 7+5+9-4 |
半径1cm，圆心角90度的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作半圆，则阴影部分（两个半圆除了重叠部分其余部分）面积为$\frac{1}{2}$．