Question

10．如图，已知在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC=4，BC=2，将△ACD沿直线CD折叠，点A落在点E处，联结AE，那么线段AE的长度等于$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 延长CD交AE于F，由折叠的性质得出CF⊥AE，AC=EC，得出∠AFC=90°，AF=EF，由勾股定理求出AB，由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，得出∠DCA=∠DAC，证出△AFC∽△BCA，得出对应边成比例$\frac{AF}{BC}=\frac{AC}{AB}$，求出AF，即可得出AE的长．

解答 解：如图所示：延长CD交AE于F，
由折叠的性质得：CF⊥AE，AC=EC，
∴∠AFC=90°，AF=EF，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵D是斜边AB的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=AD，
∴∠DCA=∠DAC，
∵∠AFC=∠ACB=90°，
∴△AFC∽△BCA，
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{AC}{AB}$，
即$\frac{AF}{2}=\frac{4}{2\sqrt{5}}$，
∴AF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴AE=2AF=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$；
故答案为：$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．