Question

6．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．
（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）求证：GC=GE；
（3）若cos∠AOC=$\frac{2}{3}$，⊙O的半径为r，求CH的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据OF∥AC，OA=OC，判断出∠BOF=∠COF；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△BOF≌△COF，推得∠OCF=∠OBF=90°，再根据点C在⊙O上，即可判断出FC是⊙O的切线．
（2）延长AC、BF交点为M．由△BOF≌△COF可知：BF=CF然后再证明：FM=CF，从而得到BF=MF，因为DC∥BM，所以△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM，然后依据相似三角形的性质可证GC=GE；
（3）因为cos∠AOC=$\frac{2}{3}$，OE=$\frac{2}{3}r$，AE=$\frac{1}{3}r$．由勾股定理可求得EC=$\frac{\sqrt{5}}{3}r$．AC=$\frac{\sqrt{6}}{3}r$．因为EG=GC，所以EG=$\frac{1}{2}EC=\frac{\sqrt{5}}{6}r$．由（2）可知△AEG∽△ABF，可求得CF=BF=$\sqrt{5}r$．在Rt△ABF中，由勾股定理可求得AF=3r．然后再证明△CFH∽△AFC，由相似三角形的性质可求得CH的长．

解答 （1）证明：∵OF∥AC，
∴∠BOF=∠OAC，∠COF=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠BOF=∠COF，
在△BOF和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BO=CO}\\{∠BOF=∠COF}\\{0F=0F}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△COF，
∴∠OCF=∠OBF=90°，
又∵点C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切线．
（2）如下图：延长AC、BF交点为M．

由（1）可知：△BOF≌△COF，
∴∠OFB=∠CFO，BF=CF．
∵AC∥OF，
∴∠M=∠OFB，∠MCF=∠CFO．
∴∠M=∠MCF．
∴CF=MF．
∴BF=FM．
∵DC∥BM，
∴△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM．
∴$\frac{EG}{BF}=\frac{AG}{AF}$，$\frac{GC}{FM}=\frac{AG}{AF}$．
∴$\frac{EG}{BF}=\frac{GC}{FM}$
又∵BF=FM，
∴EG=GC．
（3）如下图所示：

∵cos∠AOC=$\frac{2}{3}$，
∴OE=$\frac{2}{3}r$，AE=$\frac{1}{3}r$．
在Rt△EOC中，EC=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}r$．
在Rt△AEC中，AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}r$．
∵EG=GC，
∴EG=$\frac{1}{2}EC=\frac{\sqrt{5}}{6}r$．
∵△AEG∽△ABF，
∴$\frac{EG}{BF}=\frac{AE}{AB}$，即$\frac{\frac{\sqrt{5}}{6}r}{BF}=\frac{\frac{1}{3}r}{2r}$．
∴BF=$\sqrt{5}r$．
∴CF=$\sqrt{5}r$．
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{（2r）^{2}+（\sqrt{5}r）^{2}}$=3r．
∵CF是⊙O的切线，AC为弦，
∴∠HCF=∠HAC．
又∵∠CFH=∠AFC，
∴△CFH∽△AFC．
∴$\frac{CH}{AC}=\frac{CF}{AF}$，即：$\frac{CH}{\frac{\sqrt{6}}{3}r}=\frac{\sqrt{5}r}{3r}$．
∴CH=$\frac{\sqrt{30}}{9}r$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，同时还涉及了勾股定理，锐角三角形函数，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，证得BF=FM是解答本题的关键．