Question

12．如图1，在△ABC中，∠BAC=90℃，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B、C在AE的异测，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E
（1）试说明：BD=CE+DE；
（2）若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置（BD＞CE）时，其余条件不变，则BD与DE，CE的数量关系如何？请说明理由；
（3）若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置（BD＜CE）时，其余条件不变，则BD与DE，CE的数量关系怎样？请直接写出结果，不需说明理由；
（4）根据以上的讨论请用简洁的语言表达BD与DE，CE的数量关系．

Answer 1

分析 （1）利用AAS判定△ABD≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等可以求得BD=AE，AD=CE，由此即可证明．
（2）结论：BD=DE-CE．证明方法类似（1）．
（3）结论：BD+CE=DE．证明方法类似（1）．
（4）观察结论可知：线段BD与DE，CE的数量关系为：较短的两条线段之和等于较长的线段．

解答 （1）证明：如图1中，

∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠AEC=90°，∠DBA+∠BAD=90°，∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠DBA=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠DBA=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE；
∴AE=AD+DE=CE+DE
∴BD=DE+CE；

（2）解：结论：BD+CE=DE．
理由：如图2中，

∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠AEC=90°，∠DBA+∠BAD=90°，∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠DBA=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠DBA=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE
∵DE=AE+AD=BD+CE
∴BD+CE=DE．

（3）解：结论：BD+CE=DE．
理由：如图3中，

∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠AEC=90°，∠DBA+∠BAD=90°，∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠DBA=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠AEC}\\{∠DBA=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE
∵DE=AE+AD=BD+CE
∴BD+CE=DE．

（4）线段BD与DE，CE的数量关系为：较短的两条线段之和等于较长的线段．

点评 本题考查三角形全等的判定与性质，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．结合图形得出线段之间的关系解决问题．