Question

8．解方程$\sqrt{x+m}$+$\sqrt{x+n}$=7时，甲将题错抄成$\sqrt{x-m}$+$\sqrt{x+n}$=7，结果解得有一个根是x=12；乙将题错抄成$\sqrt{x+m}$+$\sqrt{x-n}$=7，结果解得有一个根是x=13，若两人解题都正确，求整数m、n的值．

Answer 1

分析 根据题意得出$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{12-m}+\sqrt{12+n}=7}\\{\sqrt{13+m}+\sqrt{13-n}=7}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{12-m≥0}\\{13+m≥0}\end{array}\right.$，解得-13≤m≤12，得出0≤$\sqrt{12-m}$≤$\sqrt{25}$=5，且$\sqrt{12-m}$和$\sqrt{13+m}$同为整数的m只有3或-4，得出m=3或m=-4；把m的值分别代入$\sqrt{12-m}$+$\sqrt{12+n}$=7求出n的值即可．

解答 解：根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{12-m}+\sqrt{12+n}=7}\\{\sqrt{13+m}+\sqrt{13-n}=7}\end{array}\right.$，
需满足：$\left\{\begin{array}{l}{12-m≥0}\\{13+m≥0}\end{array}\right.$，
解得：-13≤m≤12，
∴0≤$\sqrt{12-m}$≤$\sqrt{25}$=5，且$\sqrt{12-m}$和$\sqrt{13+m}$同为整数的m只有3或-4，
∴m=3或m=-4；
当m=3时，代入$\sqrt{12-m}$+$\sqrt{12+n}$=7得：n=4；
当m=-4时，代入$\sqrt{12-m}$+$\sqrt{12+n}$=7得：n=-3；
∴整数m、n的值为$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=-4}\\{n=-3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了无理方程、方程的解的运用、二次根式的非负性质；由题意得出m的值是解决问题的关键．