Question

6．如图，点E是正方形ABCD内一点，点E到点A，B和D的距离分别为1，2$\sqrt{2}$，$\sqrt{10}$．将△ADE绕点A旋转至△ABG，连结ABG，连结AE，并延长AE与BC相交于点F，连接GF，则线段GF长为$\frac{\sqrt{178}}{3}$．

Answer 1

分析 作BM⊥AF垂足为F，根据勾股定理逆定理得到△EMB是直角三角形，利用△ABM∽△AFB得到AF，在RT△AFG中利用勾股定理即可．

解答 解：作BM⊥AF垂足为F，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADE绕点A顺时针旋转后得到△ABG，
∴∠EAG=∠DAB=90°，DE=BG=$\sqrt{10}$，
∵AE=AG=1，
∴EG=$\sqrt{A{E}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵EG²+EB²=（$\sqrt{2}$）²+（2$\sqrt{2}$）²=10，
BG²=（$\sqrt{10}$）²=10，
∴BG²=EG²+EB²，
∴∠BEG=90°，
∵∠AEG=∠AGE=45°，∠BEM+∠AEG=90°，
∴∠BEM=45°，
∵$EB=2\sqrt{2}$，
∴ME=MB=2，
在RT△ABM中，AB=$\sqrt{A{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$
在△ABM和△AFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠BAF}\\{∠AMB=∠ABF}\end{array}\right.$，
∴△ABM∽△AFB，
∴$\frac{AB}{AF}=\frac{AM}{AB}$，
∴$\frac{\sqrt{13}}{AF}$=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，
AF=$\frac{13}{3}$，
在RT△AFG中，FG=$\sqrt{A{F}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{13}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{178}}{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．