Question

20．如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角的平分线，CE⊥AE于点E．
求证：四边形ADCE是矩形．

Answer 1

分析 由角平分线定义得：∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC和∠CAE=∠FAE=$\frac{1}{2}$∠FAC，则∠DAE=90°，再证明∠AEC=∠ECB=90°，由三个角是直角的四边形是矩形得出结论．

解答 证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵AE是∠BAC的外角的平分线，
∴∠CAE=∠FAE=$\frac{1}{2}$∠FAC，
∵∠BAC+∠FAC=180°，
∴∠DAC+∠EAC=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
即∠DAE=90°，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠B+∠ACB=∠FAE+∠CAE，
∴∠FAE=∠B，
∴AE∥BC，
∴∠AEC+∠ECB=180°，
∴∠ECB=90°，
∴∠DAE=∠AEC=∠ECB=90°，
∴四边形ADCE是矩形．

点评 本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质及矩形的判定，角平分线可以将一个角分成两个相等的角，同时要熟知等边对等角，掌握矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；本题利用了第②种判定方法判定四边形ADCE是矩形．