Question

如图已知AB⊥BD，CD⊥BD．若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：

分析：存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可．

解答：解：存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
理由是：设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当

AB

CD

=

BP

PD

或

AB

PD

=

BP

CD

时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①

9

4

=

x

10-x

或②

9

10-x

=

x

4

，
解方程①得：x=

90

13

，经检验x=

90

13

是方程①的解，且符合题意．
方程②得：x（10-x）=36，
x²-10x+36=0，
△=（-10）²-4×1×36＜0，此方程无解，
∴当BP=

90

13

时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为

90

13

．

点评：本题考查了相似三角形的判定，根的判别式的应用，注意：ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数），当△=b²-4ac＜0时，方程无实数解，当△=b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数解，当△=b²-4ac＞0时，方程有两个不等的实数解．