Question

（2013•怀集县二模）如图，AB是⊙O的弦，AB=4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB=

1

3

，延长OE到点F，使EF=2OE．
（1）求证：∠BOE=∠ACB；
（2）求⊙O的半径；
（3）求证：BF是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）如图，连OA．根据图示知CE是直径，所以由垂径定理得到AD=BD=2，弧AE=弧BE，则由圆周角定理易证得∠ACE=∠BCE，∠AOE=∠BOE，∠AOB=2∠ACB，故∠BOE=∠ACB；
（2）由（1）得到∠ACB=∠BOD．在Rt△BOD中，设OD=x，则OB=3x，所以根据勾股定理可以求得x的值，则易求即⊙O的半径为

3 2

2

；
（3）根据已知条件易证得△OBF∽△ODB，则其对应角相等：∠OBF=∠ODB=90°．因为OB是半径，所以BF是⊙O的切线．

解答：（1）解：如图，连OA．
∵直径CE⊥AB，
∴AD=BD=2，弧AE=弧BE，
∴∠ACE=∠BCE，∠AOE=∠BOE，
又∵∠AOB=2∠ACB，
∴∠BOE=∠ACB；

（2）解：cos∠ACB=

1

3

，
∴cos∠BOD=

1

3

，
在Rt△BOD中，设OD=x，则OB=3x，
∵OD²+BD²=OB²，
∴x²+2²=（3x）²，解得x=

2

2

，
∴OB=3x=

3 2

2

，
即⊙O的半径为

3 2

2

；

（3）证明：∵FE=2OE，
∴OF=3OE=

9 2

2

，
∴

OB

OF

=

1

3

，
而

OD

OB

=

1

3

，
∴

OB

OF

=

OD

OB

．
而∠BOF=∠DOB，
∴△OBF∽△ODB，
∴∠OBF=∠ODB=90°，
∵OB是半径，
∴BF是⊙O的切线．

点评：本题综合考查了圆周角定理，切线的判定与性质，圆心角、弧、弦间的关系以及勾股定理．综合性比较强，难度较大．