Question

4．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．

（1）如图1，当点E在AB边得中点位置时：
①通过测量DE、EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是DE=EF．
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是NE=BF，请证明你的猜想．
（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）①根据图形可以得到DE=EF，NE=BF，②要证明这两个关系，只要证明△DNE≌△EBF即可．
（2）DE=EF，连接NE，在DA边上截取DN=EB，证出△DNE≌△EBF即可得出答案．

解答 解：（1）①DE=EF；
②NE=BF；
理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，
∵N，E分别为AD，AB中点，
∴AN=DN=$\frac{1}{2}$AD，AE=EB=$\frac{1}{2}$AB，
∴DN=BE，AN=AE，
∵∠DEF=90°，
∴∠AED+∠FEB=90°，
又∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠FEB=∠ADE，
又∵AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN，
又∵∠A=90°，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，
又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，
∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，
在△DNE和△EBF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠FEB}\\{DN=EB}\\{∠DNE=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△EBF（ASA），
∴DE=EF，NE=BF．

（2）DE=EF，
理由如下：
连接NE，在DA边上截取DN=EB，
∵四边形ABCD是正方形，DN=EB，
∴AN=AE，
∴△AEN为等腰直角三角形，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°-45°=135°，
∵BF平分∠CBM，AN=AE，
∴∠EBF=90°+45°=135°，
∴∠DNE=∠EBF，
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，
∴∠NDE=∠BEF，
在△DNE和△EBF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠FEB}\\{DN=EB}\\{∠DNE=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△EBF（ASA），
∴DE=EF．

点评 此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解决本题的关键就是求证△DNE≌△EBF．