Question

11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8$\sqrt{2}$，G为AC边上一点，点D与点C关于 BG对称，以D为圆心的圆与边BG，AG分别相切，则圆D的半径为2；弦EF的弦心距为$\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 如图1，作辅助线，由轴对称的性质得：BG是CD的中垂线，由BG、AG与⊙D相切，证明DM和DN都是⊙D的半径，设半径为r，得CD=2DN，则∠DCN=30°，得等边三角形△BCD，从而得半径r=2；
如图2，作EF的弦心距DH，根据面积法求出DH的长．

解答 解：如图1，连接CD交BG于M，过D作DN⊥AG于N，
∵点D与点C关于 BG对称，
∴BG是CD的中垂线，BC=BD，
∴BG⊥CD，
∵BG、AG与⊙D相切，
∴DN、DM都为⊙D的半径，
设DN=DM=r，则CD=2r，
在Rt△CDN中，∠DCN=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠DCN=90°-30°=60°，
∵BC=BD，
∴△BDC是等边三角形，
∴CD=BC=4，
∴r=2，
如图2，过D作DH⊥EF于H，连接AD，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（8\sqrt{2}）^{2}}$=12，
在Rt△BCM中，BM=$\sqrt{B{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
S_△ABC=S_△ACD+S_△ABD+S_△BCD，
∴$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$AC•r+$\frac{1}{2}$AB•DH+$\frac{1}{2}$CD•BM，
4×8$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$r+12DH+4×2$\sqrt{3}$，
DH=$\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：2，$\frac{4\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线和轴对称的性质，明确对称轴是对称点连线的垂直平分线，同时还要熟练掌握：过圆心垂直于切线的垂线段是圆的半径，利用直角三角形30°角的逆定理得出30°，从而得到等边△BCD是本题的突破口；本题的第二问是利用面积法解决问题，这在几何计算中经常运用，要熟练掌握．