Question

5．已知点D与点A（0，6），B（0，-4），C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x，y满足x-y+3=0，则CD长的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 4
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，可得CD过线段AB的中点M，即CM=DM，根据A与B坐标求出M坐标，要求CD的最小值只需求出CM的最小值即可．

解答 解：根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，
∴CD过线段AB的中点M，即CM=DM，
∵A（0，6），B（0，-4），
∴M（0，1），
∵点到直线的距离垂线段最短，
∴过M作直线的垂线交直线于点C，此时CM最小，
直线x-y+3=0，令x=0得到y=3；令y=0得到x=-3，即F（-3，0），E（0，3），
∴OE=3，OF=3，EM=2，EF=$\sqrt{O{E}^{2}+O{F}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵△EOF∽△ECM，
∴$\frac{CM}{OF}=\frac{EM}{EF}$，
即$\frac{CM}{3}=\frac{2}{3\sqrt{2}}$，
解得：CM=$\sqrt{2}$，
则CD的最小值为2CM=2$\sqrt{2}$．
故选D．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判断和性质以及坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．