Question

如图①，直线AM⊥AN，⊙O分别与AM、AN相切于B、C两点，连接OC、BC，则有∠ACB=∠OCB；（请思考：为什么？）如果测得AB=a，则可知⊙O的半径r=a。（请思考：为什么？）

（1）将图①中直线AN向右平移，与⊙O相交于C₁、C₂两点，⊙O与AM的切点仍记为B，如图②，请你写出与平移前相应的结论，并将图②补充完整；判断此结论是否成立，且说明理由。
（2）在图②中，若只测得AB=a，能否求出⊙O的半径r？若能求出，请你用a表示r；若不能求出，请补充一个条件（补充条件时不能添加辅助线，若补充线段请用b表示，若补充角请用α表示），并用a和补充的条件表示r。

Answer 1

解：（1）图②中相应结论为∠AC1B=∠OC1B和∠AC2B=∠OC2B 先证∠AC1B=∠OC1B 连接OB、OC1， ∵AM与⊙O相切于B， ∴OB⊥AM； ∵AN⊥AM， ∴OB∥AN， ∴∠AC1B=∠OBC1； ∵OB=OC1， ∴∠OBC1=∠OC1B， ∴∠AC1B=∠OC1B 同理可证∠AC2B=∠OC2B。
（2）若只测得AB=a，不能求出⊙O的半径r 补充条件：另测得AC1=b 作OD⊥C1C2，则C1D=C2D ∵AB2=AC1·AC2， ∴AC2= ∴C1C2=AC2-AC1=-b= ∴C1D=C1C2= 故r=OB=AD=AC1+C1D=b+=。（答案不唯一）