Question

以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：
（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？

Answer 1

解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．
∴∠ABC=∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
 ，
∴△BDE≌△BAC（SAS），
∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，
∴∠BDA=∠BAD=45°．
∵∠EDA=∠BDE-∠BDA=∠BDE-45°，
∠DAG=360°-∠GAC-∠BAC-∠BAD
=360°-90°-∠BAC-45°
=225°-∠BAC
∴∠EDA+∠DAG=∠BDE-45°+225°-∠BAC=180°
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．

（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°．
则∠BAC=360°-∠BAD-∠DAG-∠GAC=360°-45°-90°-90°=135°，
即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；

（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD．
由（2）知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°．
∵四边形ABDI是正方形，
∴AD=AB．
又∵四边形ACHG是正方形，
∴AC=AG，
∴AC=AB．
∴当∠BAC=135°且AC=AB时，四边形ADEG是正方形．
分析：（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，所以全等三角形的对应边DE=AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG=180°，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；
（2）根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG=90°．然后由周角的定义求得∠BAC=135°；
（3）由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG=90°，且AG=AD．由□ABDI和□ACHG的性质证得，AC=AB．
点评：本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360°．