Question

给定方程组

1 x + 1 y =1 1 y + 1 z =2 1 z + 1 x =5

，如果令

1

x

=A，

1

y

=B，

1

z

=C，则方程组

A+B=1 B+C=2 A+C=5

由此解得

x=2 y=-1 z=3

，对不对，为什么？

Answer 1

分析：此题用换元法，将分式方程组转化为整式方程组来解答，应解得

A=2 B=-1 C=3

；然后将A、B、C的值倒过来，解出x、y、z解出来．

解答：解：不对，没有把解倒过来，应该为x=

1

2

，y=-1，z=

1

3

．
正确的解答过程为：

1 x + 1 y =1 1 y + 1 z =2 1 z + 1 x =5

，
设

1

x

=A，

1

y

=B，

1

z

=C，
则原方程化为：

A+B=1 B+C=2 A+C=5

，
解得：

A=2 B=-1 C=3

，
∴x=

1

2

，y=-1，z=

1

3

．

点评：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．