题目内容

如图：在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C（4，0），过点C作直线AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E，S△ADC=
49
5
．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BE运动，运动时间为t秒，过P点作y轴的垂线，交直线AB于点M，交直线DC于点N，线段MN的长为d（d＞0），求d与t的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，DM=DE时，求t值．
考点：一次函数综合题
专题：
分析：（1）根据三角形的面积，可得D点的纵坐标，根据点在直线AB上，可得D点的坐标，再根据待定系数法，可得CD的解析式；
（2）根据平行于y轴的直线上的点的纵坐标相等，可得yN=yM=yP=6-2t，根据点的纵坐标，可得相应的横坐标，根据平行于x轴的直线上的两点间的距离是大数减小数，可得答案；
（3）根据余角的性质，可得∠B与∠N的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得BM与BE的关系，根据解一元一次方程，可得答案．
解答：解：（1）如图1：

作DH⊥x轴与H点．
直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（-3，0），B（0，6）又C（4，0）
∴AC=7．
S△ADC=
1
2
AC×DH=
1
2
×7×DH=
49
5

∴DH=
14
5

当y=
14
5
时，
14
5
=2x+6，
解得x=-
8
5

∴D（-
8
5
，
14
5
）
设CD的解析式为：y=kx+b，
图象过C、D点，得
-
8
5
k+b=
14
5
4k+b=0
，解得
k=-
1
2
b=2
，
直线CD的解析式y=-
1
2
x+2；


（2）∵PN⊥y轴，
∴PN∥x轴，
∴yN=yM=yP=6-2t．
当yN=6-2t时，6-2t=-
1
2
x+2，
解得xN=4t-8；
当yM=6-2t时，6-2t=2x+6，
解得xM=-t；
当0≤t＜
8
5
时，如图2，：

d=xM-xN=-t-（4t-8）=8-5t；
当t＞
8
5
时，如图3，

d=xN-xM=（4t-8）-（-t）=5t-8；


（3）当0≤t＜
8
5
时，如图2，当x=0时，y=2，即E（0，2），BE=6-2=4．
∵NP⊥y，
∴∠NPE=90°，∠B+∠NEP=90°．
∵DC⊥AB，
∴∠BDE=90°，∠B+∠BED=90°，
∴∠N=∠B．
在△NDM和△BDE中，
∠N=∠B
∠NDM=∠BDE=90°
DM=DE

∴△NDM≌△BDE（AAS），
∴NM=BE=4，8-5t=4，解得t=
4
5

当t＞
8
5
时，如图3，同理有△NDM≌△BDE，
∴NM=BE=4，5t-8=4，t=
12
5

综上所述，当t=
4
5
 或t=
12
5
时，DM=DE．
点评：本题考查了一次函数的综合题，利用了待定系数法求解析式，平行于x轴的直线上的两点间的距离是大数减小数，全等三角形的判定与性质．
练习册系列答案
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．
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1
2
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2
3
xy-
4
5
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1
2
x2y2+
2
3
xy-
4
5
y3，则这个两位数为
 
．
在实数-
22
7
、0、-
3
、506、π、-
3-27
、0.1
•
0
•
1
中，无理数的个数是（　　）
A、1个B、2个C、3个D、4个
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3x+1
+
3y-1
=2
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．
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1
2
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1
2
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1
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．
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