Question

如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点E在线段AB上，CF⊥CE，CF=CE，EF交AC于G，连接AF．
（1）填空：线段BE、AF的数量关系为

 

，位置关系为

 

；
（2）若当

BE

AE

=

1

2

时，求证：

EG

FG

=2．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：常规题型

分析：（1）可以求证△ACF≌△BCE，根据全等三角形对应角、对应边相等的性质即可解题；
（2）作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，可得出GM=GN，根据S_△AEG=2S_△AFG，即证

EG

FG

=2．

解答：（1）解：∵CF⊥CE，∠ACB=90°，
∴∠FCA+∠ACE=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠FCA=∠ECB，
在△ACF和△BCE中，

CF=CE ∠FCA=∠ECB AC=BC

，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴BE=AF，∠FAC=∠EBC，
∵∠EBC+∠CAE=90°，
∴∠FAC+∠CAE=90°
（2）证明：作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，

∵△ACF可由△BCE绕点C顺时针方向旋转90°而得到，
∴AF=BE，∠CAF=∠CBE=45°．
∴AE=2AF，∠CAF=∠CAB，
∴GM=GN．
∴S_△AEG=2S_△AFG，
∴EG=2GF，
∴

EG

FG

=2．

点评：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、旋转的性质，能够从特殊推广到一般发现规律．