Question

5．已知：关于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0（m≠0）
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个实数根．
（2）如果该方程两个根是不等的整数，且m为正整数，求m的值．

Answer 1

分析 （1）求出△的值，再判断出其符号即可；
（2）根据（1）求出方程的根，再根据x₁≠x₂，x为正整数，且m为正整数，即可求出m的值．

解答 （1）证明：∵m≠0，
∴mx²+（3m+1）x+3=0是关于x的一元二次方程，
∵△=（3m+1）²-4m×3=9m²+6m+1-12m=9m²-6m+1=（3m-1）²≥0，
∴对于任意实数m，方程总有两个实数根；

（2）解：x₁=-$\frac{1}{m}$，x₂=-3，
∵该方程两个根是不等的整数，
∴m=±1，
又∵m为正整数，
∴m=1．

点评 此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根是本题的关键．