Question

已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=6，点D在边BC上，点E在线段DC上，DE=3，△DEF是等边三角形，边DF、EF与边AB、AC分别相交于点M、N，
（1）如图1，当点EF经过点A时，求线段BD的长；
（2）如图2，设BD=x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）作AG⊥BC于G，先求出BG、AG，再证明AE=CE，在Rt△AEG中求出AE，即可求出BD的长；
（2）重合部分的面积应该是△ABC的面积-△BDM和△CEN的面积和．那么要先求出△BDM和△CEN的面积，由于∠B=∠C=30°，∠FDE=60°，∠BMD=∠C=30°，△BDM和△BAC相似，那么可根据面积比等于相似比的平方用△ABC的面积求出△BDM的面积．同理可求出△CEN的面积，即可得出重合部分的面积．

解答：解：（1）作AG⊥BC于G，如图1所示：
∵AB=AC，∠B=30°，BC=6，
∴∠C=∠B=30°，BG=

1

2

BC=3，AG=

3

，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠DEF=60°，
∴∠EAC=60°-30°=30°，
∴AE=CE，
∵AE=

AG

sin60°

=

3

3 2

=2，
∴CE=2，
∴BD=BC-DE-CE=6-3-2=1；
（2）过A作AH⊥BC于H，如图2所示：
∵∠B=30°，BC=6，
∴BH=3，AH=

3

，AB=2

3

，
∴S△ABC=

1

2

×6×

3

=3

3

，
∵∠B=∠B，∠BMD=∠C，
∴△BDM∽△BAC，
∴

S△BDM

S△BAC

=(

BD

AB

)2，
即

S△BDM

3 3

=(

x

2 3

)2，
∴S△BDM=

3

4

x2，同理求得S△NEC=

3

4

(3-x)2，
∴y=3

3

-

3

4

x2-

3

4

(3-x)2=-

3

2

x2+

3 3

2

x+

3 3

4

，（1≤x≤2）．

点评：本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的知识；运用好特殊角的三角函数是解题的关键．