题目内容
如图，四边形ABCD的边AB在x轴上，A与O重合，CD∥AB，D（0，6| 3 |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 3 |
（1）求点B的坐标；
（2）求当直线AE与⊙P相切时t的值；
（3）在整个运动过程中直线AE与⊙P相交的时间共有几秒？（直接写出答案）
考点：圆的综合题,等边三角形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的判定与性质,切线的性质,轴对称的性质,锐角三角函数的定义
专题：综合题
分析：（1）根据勾股定理可求出AE长，易证△ABE是等边三角形，从而得到AB=AE，就可求出点B的坐标．
（2）由于点P在不同的线段上运动，需分情况讨论，可分四种情况（点P在DE上、点P在EC上、点P在BC上、点P在OB上）进行讨论，然后利用三角函数建立方程，就可求出相应t的值．
（3）在（2）的基础上，可得到直线AE与⊙P相交时t的范围，就可求出相交时间．
（2）由于点P在不同的线段上运动，需分情况讨论，可分四种情况（点P在DE上、点P在EC上、点P在BC上、点P在OB上）进行讨论，然后利用三角函数建立方程，就可求出相应t的值．
（3）在（2）的基础上，可得到直线AE与⊙P相交时t的范围，就可求出相交时间．
解答：解：（1）连接BE，如图1，
∵CD∥AB，
∴∠CDO+∠BOD=90°．
∵∠BOD=90°，
∴∠CDO=90°．
∵D（0，6
），
∴AD=6
．
∵DE=6，
∴AE=
=12．
∴sin∠AED=
=
．
∴∠AED=60°．
∵CD∥AB，
∴∠EAB=∠AED=60°．
由轴对称的性质可得：AE=EC，AB=BC，∠AEB=∠CEB=
=60°．
∴△ABE是等边三角形．
∴AB=AE．
∵AE=12，
∴BC=AB=AE=EC=12．
∴B（12，0）．
（2）①当圆心P在线段DE上时，过点P作PH⊥AE于H，如图2，
则有DP=4t，OA=
t，AD=6
-
t，PH=
+
t．
在Rt△ADE中，
∵tan∠AED=
=
，
∴DE=6-
t．
∴PE=DE-DP=6-
t-4t．
在Rt△PHE中，
则有sin60°=
=
，
解得：t1=
．
②当圆心P在线段EC上时，过点P作PH⊥AE于H，如图3，
同理可得：PH=
+
t，PE=DP-DE=4t-6+
t．
在Rt△PHE中，
则有sin60°=
=
，
解得：t2=
．
③当圆心P在线段BC上时，过点P作PH⊥AE于H，过点C作CG⊥AE于G，如图4，
∵AE∥BC，PH⊥AE，CG⊥AE，
∴GC=PH．（平行线之间的垂线段相等）
在Rt△EGC中，
∵GC=PH═
+
t，EC=DC-DE=18-（6-
t）=12+
t，
∴sin60°=
=
．
解得：t3=6．
④当圆心P在线段BO上时，
∵EC∥BF，EF∥BC，
∴四边形ECBF是平行四边形．
∴FB=EC=12+
t．
∵PB=4t-18-12=4t-30，
∴PF=FB-PB=42+
t-4t．
在Rt△FHP中，
∵∠HFP=60°，PH=
+
t，PF=42+
t-4t，
∴sin60°=
=
．
解得：t4=
∵点P在OB上，
∴
≤t≤
，即
≤t≤
．
∵
＜
，
∴t4=
不符合要求，故舍去．
综上所述：当直线AE与⊙P相切时t的值为
秒或
秒或6秒．
（3）由（2）可知：当
＜t＜
和6＜t≤
时，直线AE与⊙P相交．
则相交的时间为（
-
）+（
-6）=
（秒）．
所以在整个运动过程中直线AE与⊙P相交的时间共有
秒．
∵CD∥AB，
∴∠CDO+∠BOD=90°．
∵∠BOD=90°，
∴∠CDO=90°．
∵D（0，6
| 3 |
∴AD=6
| 3 |
∵DE=6，
∴AE=
| AD2+DE2 |
∴sin∠AED=
| AD |
| AE |
| ||
| 2 |
∴∠AED=60°．
∵CD∥AB，
∴∠EAB=∠AED=60°．
由轴对称的性质可得：AE=EC，AB=BC，∠AEB=∠CEB=
| 180°-∠AED |
| 2 |
∴△ABE是等边三角形．
∴AB=AE．
∵AE=12，
∴BC=AB=AE=EC=12．
∴B（12，0）．
（2）①当圆心P在线段DE上时，过点P作PH⊥AE于H，如图2，
则有DP=4t，OA=
| ||
| 3 |
| 3 |
| ||
| 3 |
| 3 |
| 3 |
在Rt△ADE中，
∵tan∠AED=
| AD |
| DE |
| 3 |
∴DE=6-
| 1 |
| 3 |
∴PE=DE-DP=6-
| 1 |
| 3 |
在Rt△PHE中，
则有sin60°=
| ||||
6-4t-
|
| ||
| 2 |
解得：t1=
| 12 |
| 19 |
②当圆心P在线段EC上时，过点P作PH⊥AE于H，如图3，
同理可得：PH=
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
在Rt△PHE中，
则有sin60°=
| ||||
4t-6+
|
| ||
| 2 |
解得：t2=
| 24 |
| 7 |
③当圆心P在线段BC上时，过点P作PH⊥AE于H，过点C作CG⊥AE于G，如图4，
∵AE∥BC，PH⊥AE，CG⊥AE，
∴GC=PH．（平行线之间的垂线段相等）
在Rt△EGC中，
∵GC=PH═
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴sin60°=
| ||||
12+
|
| ||
| 2 |
解得：t3=6．
④当圆心P在线段BO上时，
∵EC∥BF，EF∥BC，
∴四边形ECBF是平行四边形．
∴FB=EC=12+
| 1 |
| 3 |
∵PB=4t-18-12=4t-30，
∴PF=FB-PB=42+
| 1 |
| 3 |
在Rt△FHP中，
∵∠HFP=60°，PH=
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴sin60°=
| ||||
42-4t+
|
| ||
| 2 |
解得：t4=
| 120 |
| 17 |
∵点P在OB上，
∴
| 30 |
| 4 |
| 42 |
| 4 |
| 15 |
| 2 |
| 21 |
| 2 |
∵
| 120 |
| 17 |
| 15 |
| 2 |
∴t4=
| 120 |
| 17 |
综上所述：当直线AE与⊙P相切时t的值为
| 12 |
| 19 |
| 24 |
| 7 |
（3）由（2）可知：当
| 12 |
| 19 |
| 24 |
| 7 |
| 21 |
| 2 |
则相交的时间为（
| 24 |
| 7 |
| 12 |
| 19 |
| 21 |
| 2 |
| 1941 |
| 266 |
所以在整个运动过程中直线AE与⊙P相交的时间共有
| 1941 |
| 266 |
点评：本题在图形的运动变化中，考查了圆的切线的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角函数的定义、勾股定理、平行线之间的垂线段相等、平行线的性质等知识，还考查了分类讨论的数学思想，综合性强，有一定的难度．
练习册系列答案
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