Question

4．已知抛物线y=x²+bx+c交y轴于点A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B（3，-4），直线y=$\frac{1}{4}$x与抛物线在第一象限的交点为C，连接OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点P在直线OC上，点Q在抛物线上运动，试问点P、Q在运动过程中是否存在以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形的情况，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据B点坐标及抛物线的对称性，可求A点坐标，将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组可求b、c；
（2）设P（4y，y），Q（x，x²-3x-4），分两种情形讨论①当OB为平行四边形的边时，②当OB为对角线时，分别列出方程求解即可．

解答 解：（1）已知B（3，-4），根据抛物线的对称性可知A（0，-4），
将A、B两点坐标代入抛物线解析式，
得$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{9+3b+C=-4}\end{array}\right.$，解得b=-3，c=-4，
∴抛物线解析式为y=x²-3x-4．

（2）存在．
设P（4y，y），Q（x，x²-3x-4），
①当OB为平行四边形的边时，则OB=PQ，OQ=BP，
∵B（3，-4），
∴OB=5，
∴PB²=（4y-3）²+（y+4）²=x²+（x²-3x-4）²，①
OB²=（4y-x）²+（x²-3x-4-y）²=25，②
①②联立得，$\left\{\begin{array}{l}{4y=8}\\{y=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{4y=\frac{5}{4}}\\{y=\frac{5}{16}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{4y=-\frac{11}{4}}\\{y=\frac{11}{16}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{4y=\frac{11}{4}}\\{y=\frac{11}{16}}\end{array}\right.$．
故P₁（8，2），P₂（ $\frac{5}{4}$，$\frac{5}{16}$），P₃（-$\frac{11}{4}$，-$\frac{11}{16}$），-P₄（ $\frac{11}{4}$，$\frac{11}{16}$）．
②当OB为对角线时，OB与PQ互相平分，OB与PQ的交点坐标为（$\frac{3}{2}$，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+4y}{2}=\frac{3}{2}}\\{\frac{{x}^{2}-3x-4+y}{2}=-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{4}}\\{y=\frac{11}{16}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍弃），
此时点P坐标为（$\frac{11}{4}$，$\frac{11}{16}$），
综上所述，当O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点P坐标为P₁（8，2），P₂（ $\frac{5}{4}$，$\frac{5}{16}$），P₃（-$\frac{11}{4}$，-$\frac{11}{16}$），P₄（ $\frac{11}{4}$，$\frac{11}{16}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题、待定系数法求抛物线解析式的方法、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，考虑问题要全面，属于中考常考题型．