Question

17．如图，在△ABC中，AB=AC，AM为△ABC底边上的中线，点D在BA的延长线上，E在AC上，且AD=AE，DE交BC于F，求证：DF⊥BC．

Answer 1

分析 根据等腰三角形三线合一的性质得出∠BAC=2∠BAM，由三角形外角的性质及等边对等角的性质得出∠BAC=2∠D，则∠BAM=∠D，根据平行线的判定得出DE∥AM，进而得到DF⊥BC．

解答 证明：∵AB=AC，AM为△ABC底边上的中线，
∴∠BAC=2∠BAM，AM⊥BC，
∵AD=AE，
∴∠D=∠AED，
∴∠BAC=∠D+∠AED=2∠D，
∴∠BAC=2∠BAM=2∠D，
∴∠BAM=∠D，
∴DF∥AM，
∵AM⊥BC，
∴DF⊥BC．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判定等知识，难度适中，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．